5. TVAR, ROZMĚRY A HMOTNOST ZEMĚ

 

5.1 Historické určování tvaru a rozměrů Země

-         „důkazy“ kulatosti Země – Aristoteles (348-322 př. n. l.)

-          Eratosthenés z Kyrény (3 st. př. n. l.) – úhlová metoda měření (39 650 km – 53 150 km)

Obr. 12.1/242

-          měření Arabů r. 828 - 1º z. š. (111,722 – 113,330 km)

-          novodobá stupňová měření v Evropě – r. 1525 J. Fernel na pařížském poledníku (111,286 km)

-          metoda triangulace – W. Snellius (1591-1626):

„vzdálenost dvou bodů se neměří přímo, ale pomocí sítě myšlených trojúhelníků“

trigonometrické body – trigonometrická síť

Obr. 12.2/244

-          r. 1669 další měření na pařížském poledníku – „zploštění Země v polárních oblastech“ (Newton – Cassiniové)

měření v Peru 1735-1743 (110,6 km), měření v Laponsku 1736-1737 (111,5 km)

-          r. 1792 – pařížský poledník protažený do Barcelony – délková jednotka metr (v Rakousku-Uhersku od roku 1876)

-          gravimetrická měření

 

5.2 Družicová geodézie

-         řeší problémy a úlohy základní geodézie z pozemských měření poloh těles v blízkém kosmickém prostoru

-          pozorování družice: topocentrický průvodič, geocentrický průvodič

Obr. 12.3/245

-          měření dopplerovského posunu vysílaného signálu z družice

a)       ze znalosti vysílané a přijímané frekvence a rychlosti šíření signálu – úhlová rychlost družice

b)       při znalosti okamžitých prvků dráhy družice – geocentrické souřadnice polohy družice

-          pohyb družice je popsán pohybovými rovnicemi (diferenciální rovnice 2. řádu)

-          dráhové elementy:

a)       a - hlavní poloosa dráhové elipsy

b)       e – výstřednost dráhy

c)       Ω – délka výstupného uzlu

d)       ω – argument perigea

e)       i – sklon dráhy družice k rovníku (geostacionární x s polární dráhou)

f)        T – čas průchodu družice perigeem

Obr. 3.3/50

-          změny dráhových elementů: gravitační poruchy (rozložení hmot, přitažlivost S a M), brždění v atmosféře, tlakový vliv slunečního záření

-          dva základní přístupy družicové geodézie:

a)       geometrický

z přímého pozorování družice z pozemních stanic se určují souřadnice neznámého bodu

družicová navigace

jednotný geodetický systém pro celou zemi (sítě nultého až druhého řádu)

b)       dynamický

ze znalosti parametrů dráhy družice se určují konstanty (parametry) gravitačního pole Země

ideální keplerovská dráha – homogenní koule bez atmosféry a působení třetího tělesa

nepravidelnosti v rozložení hmoty a tvaru – poruchy v keplerovské dráze

gravitační potenciál tělesa závisí na vzdálenosti od středu tělesa, zeměpisné šířce a délce

gravitační potenciál se vyjadřuje v podobě rozvoje do řady sférických (kulových) funkcí

Vzorec 12.4 na str. 248

dynamické (Stokesovy) konstanty neboli harmonické koeficienty: charakterizují dynamické vlastnosti tělesa (tj. byly by číselně určeny, kdyby bylo známo rozložení veškeré hmoty v tělese) a jeho vnější gravitační pole:

      - zonální: m = 0 (definují strukturu gravitačního pole v závislosti na zeměpisné šířce)

      - tesserální: m ¹ 0 (zeměpisná šířka a délka současně)

       - sektorové: n = m (zeměpisná šířka a délka současně)

gravitační potenciál rotačního elipsoid: C2,0 ¹ 0 (pólové zploštění), ostatní rovny nule

gravitační potenciál trojosého elipsoidu: C2,0 ¹ 0, C2,2 ¹ 0 (rovníkové zploštění), ostatní rovny nule

model gravitačního pole Země

Obr. 12.6/249

 

5.3 Způsoby aproximace tvaru Země

-          horizontální členitost – pevniny (Země 29,2 %, SP 39 %, JP 19 %) a oceány

-          vertikální členitost – pevniny 875 m (Ču-mu-lang-ma 8848 m), oceány –3704 m (Mariánský příkop –11 034 m)

-          neustálé změny povrchu – slapy, eroze atd. ® idealizace tvaru Země

 

5.3.1 Země jako geoid

-          tíhová síla – výslednice gravitační a odstředivé síly

Obr. 8.1/149

-          tvar Země určen hodnotou vnějšího tíhového potenciálu na povrchu naší planety (rozdělení hmot, úhlová rychlost rotace) – geoid

-          geoid: těleso, omezené vzhledem k atmosféře střední klidnou hladinou oceánů a moří, probíhající myšleně i pod kontinenty

-          geoid: ekvipotenciální plocha, přiléhající ke střední klidné hladině oceánů a moří

-          plocha geoidu v každém bodě kolmá na směr tíhové síly

-          oceánská část geoidu – družicová altimetrie

-          sféroid – Země tvořená homogenní tvárlivou hmotou ® tvar pravidelného rotačního tělesa zploštělého na pólech

 

5.3.2 Země jako rotační elipsoid

-          rotační elipsoid – těleso vzniklé rotací elipsy kolem vedlejší osy

-          zemský elipsoid – umístění geoidu do elipsoidu (ztotožnění os a rovin rovníku)

-          referenční elipsoid – rotační elipsoid, který se celý nebo jenom jeho část dobře přimyká ke geoidu: numerická výstřednost e2, zploštění i = (a-b)/a, hlavní poloosa a, vedlejší poloosa b

-          hlavní referenční elipsoidy:

a)       Besselův elipsoid (1841) – Jednotná trigonometrická síť katastrální

b)       Hayfordův elipsoid (1909) – doporučen jako mezinárodní

c)       Krasovského elipsoid (1936) – souřadnicový systém 1952, S-42

d)       Světové geodetické systémy (WGS) – z družicových pozorování

WGS 1984:  a = 6 378 136,0 ± 1 m

                      b = 6 356 752,0

                      i = 1 : 298,257

 

5.3.3 Země jako trojosý elipsoid

-          rovníkové zploštění iR, pólové zploštění iP

 

5.3.4 Země jako koule

-         stanovení poloměru referenční koule:

a)       průměr tří os rotačního elipsoidu: r = 1/3 (a + a + b) [6 371 118 m]

b)       povrch referenční koule = povrch referenčního elipsoidu [6 371 116 m]

c)       objem referenční koule = objem referenčního elipsoidu [6 371 110 m]

 

5.3.5 Porovnání geoidu s elipsoidy

-          průběh plochy geoidu a elipsoidu (deviace tížnic)

Obr. 12.8a/255

-          tvarová odlišnost severní a jižní polokoule

Obr. 12.9ab/256

 

5.4 Důsledky tvaru Země

 

5.4.1 Zonální rozdělení úhrnů slunečního záření na zemském povrchu

 

5.4.2 Přímá viditelnost předmětů na zemském povrchu

Obr. 12.10/258

-          geodetická deprese obzoru α

-          pozorovaná geodetická deprese obzoru δ

-          vzdálenost přímé viditelnosti

-          δ2 = α2 + Δn

-          Δn = 0,227 Δρ

 

-          typy pozorovaného obzoru – hustota vzduchu ρ a index lomu n:

a)       hustota klesá s výškou: rozšířený a zdvižený δ < α

b)       hustota se s výškou nemění: obzor neovlivněný refrakcí δ = α

c)       hustota roste s výškou: snížený a zúžený δ > α

 

-          zrcadlení (fata morgána):

a)       pokles hustoty s výškou (polární oblasti) - horní zrcadlení

Obr. 12.11a/259

b)       vzestup hustoty s výškou (stepní a pouštní oblasti) – dolní zrcadlení

Obr. 12.11b/259

 

5.4.3 Stanovení vzdáleností na Zemi

viz kap. 2.3.3.1

 

5.4.4 Šířka geocentrická a astronomická

Obr. 12.14/263

-          šířka geocentrická ψ – úhel, který svírá spojnice středu a daného bodu na povrchu tělesa s rovinou rovníku

-          tg ψ = (1 – e2) tg φ

-          vzdálenosti 1º z. š. na Krasovského elipsoidu:

Δφ (0, 1) = 110,576 km

Δφ (44, 45) = 111,124 km

Δφ (89, 90) = 111,695 km

Obr. 12.15/264

-          šířka astronomická φ= výška světového pólu nad obzorem

φ = φ’ - deviace tížnic

 

5.5 HMOTNOST ZEMĚ

 

5.5.1 Stanovení hmotnosti a hustoty Země

-          Newtonův gravitační zákon - dvě tělesa se přitahují sílou, která je přímo úměrná součinu jejich hmotnosti m1 a m2 a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti r jejich středů (G – gravitační konstanta)

F = G m1 m2 / r2

-          odvození hmotnosti Země MZ (m – hmotnost tělesa na povrchu Země, rZ – jeho vzdálenost od středu Země):

F = G m MZ / rZ2

F = m.ag

ag = G MZ / rZ2

MZ = ag rZ2 / G (MZ = 5,97.1024 kg)

-          rozložení hmotnosti: plášť (67,0 %), jádro (32,2 %), kůra (0,8 %), fyzickogeografická sféra 0,054 %

-          biosféra : atmosféra : hydrosféra = 1 : 103 : 106

-          odvození hustoty Země:

MZ = VZ ρZ = 4/3 π rZ3 ρZ

ρZ = 3 MZ / 4 π rZ3 (5,52.103 kg.m3)

 

5.5.2 Důsledky hmotnosti Země

 

-          stupeň „připoutanosti“ k Zemi – kosmické rychlosti:

a) potenciální energie hmotného bodu A s hmotností m ve vzdálenosti h od zemského povrchu, když h << rZ je:

Ep = m ag h

b) kinetická energie bodu A o hmotnosti m a rychlosti v

Ek = 1/2 mv2

c) zákon zachování mechanické energie

Ep + Ek = konst.

hmotný bod A při různých výškách h1 a h2

1/2 mv12 + magh1 = 1/2 mv22 + magh2

d) pohyb hmotného bodu A kolem Země po kruhové dráze ve vzdálenosti h rychlostí vI

odstředivá síla = síla dostředivá (gravitační)

pro h = 0 je vI = 7,91 km.s-1 tzv. první kosmická rychlost

e) hmotnému bodu A chceme udělit rychlost vII, aby se nevrátil na Zemi

v nekonečnu je Ek = 0, Ep = 0, tedy Ep + Ek = 0 platí i na zemském povrchu

vII = 11,18 km.s-1 je tzv. druhá kosmická rychlost (úniková rychlost po parabolické dráze z gravitačního pole Země)

e)       úniková rychlost pro těleso ve vzdálenosti 1 AU od Slunce (po hyperbolické dráze)

vIII = 42,12 km.s-1

 

-          stupeň stálosti zemské atmosféry:

a)       střední kvadratická rychlost tepelného pohybu molekul

vsk = (3kT/m)1/2

b)       únik atomu či molekuly plynu

vII £ vsk tedy 2GM/r £ 3kT/m

c)       stanovení kritické teploty

T¥ ³ 2GMm / 3kr neboli s použitím relativní molekulové hmotnosti μ

T¥ = 5013 μ . M/MZ . rZ/r

 atomární vodík μ = 1,008 je T¥ = 5053 K

d)       při podmínce T¥ má asi 39,2 % molekul rychlost v ³ vII – volná dráha

e)       hladina disipace cca v 500 km (4 % atomů vodíku a 0,45 % molekul vodíku a jisté množství hélia dosahuje únikové rychlosti), ostatní plyny dosahují únikové rychlosti jen s velmi malou pravděpodobností

f)        stabilita zemské atmosféry s převahou dusíku a kyslíku, doba disipace vodíku (disociace vodní páry) a hélia (přirozené radioaktivní procesy) je menší než doba existence Země

Tab. 12.6/268

g)       kritická teplota závislá na hmotnosti určuje odlišné složení atmosfér planet „zemského typu“ od „obřích“ planet

h)       planetky, komety (T¥ je i pro plyny s μ > 30 kolem 1-2 K, přičemž teplota jádra neklesne pod 2,7 K)

Tab. 12.7/268